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En quoi le football est-il un fascinant objet d’analyse mathĂ©matique?

Par Benjamin Ndjama

Comme beaucoup de nos compatriotes j’ai Ă©tĂ© profondĂ©ment touchĂ© par la mort du centralien et militant progressiste, membre de l’UPC Emmanuel Bityeki. Il fut un camarade au sens oĂą le mot est utilisĂ© par la gauche politique depuis la rĂ©volution française. Il a appartenu Ă  cette brillante tradition des mathĂ©maticiens de l’UPC qui va de Hogbe Nlend Ă  Moukoko Priso en passant par Woungly Massaga. Nous lui devons un travail audacieux : Les Fondements mathĂ©matiques du football. Ce livre alimenta un moment la chronique judiciaire. L’ingĂ©nieur camerounais avait portĂ© plainte Ă  GĂ©rard Houlier et Ă  son employeur la fĂ©dĂ©ration française de football pour dĂ©tournement de connaissances scientifiques.

Je n’ai jamais lu ce livre que je cherche toujours inlassablement. Et pourtant son titre Ă  lui seul Ă©veilla en moi une immense curiositĂ© qui est restĂ©e inassouvie jusqu’aujourd’hui.

En quoi une activité(le football) pratiquée par des individus au niveau de scolarité très modeste peut être le vivier de puissants concepts mathématiques ? Comment une telle activité peut orienter plus tard le devenir de la civilisation ?

Faute d’avoir lu Bityeki qui nous aurait beaucoup Ă©clairĂ©s sur ce sujet nous nous contenterons de partager ce que nous savions dĂ©jĂ  sur les rapports entre le football et les mathĂ©matiques.

Nous nous attarderons sur deux phĂ©nomènes d’importance majeure : L’acte qui consiste Ă  lifter le ballon et l’usage des nombres premiers dans le football.

Lifter le ballon : un phénomène hautement scientifique et un Problème mathématique non résolu.

Que signifie lifter un ballon ? Il nous arrive tous en jouant au ballon de faire ce geste très Ă©lĂ©gant parce qu’on le trouve ingĂ©nieux ou parce qu’il procure Ă  celui qui le fait un plaisir particulier.
Le lift est le phĂ©nomène par lequel une balle brossĂ©e Ă©volue vers l’avant en tournant sur elle-mĂŞme (ou, au minimum, fait du surplace).On peut lifter une balle de l’intĂ©rieur ou de l’extĂ©rieur du pied. La balle liftĂ©e parcourt un demi-cercle. Elle peut aussi se dĂ©placer en empruntant successivement deux lignes diffĂ©rentes comme si son parcours suivait un angle oblique. C’est le tournoiement de la balle sur elle-mĂŞme qui change sa trajectoire avant le rebond et au rebond. Quand la balle emprunte la seconde direction et va vers le rebond elle est orientĂ©e par le vent. La balle va obĂ©ir sous la poussĂ©e du vent Ă  un chaos qui correspond Ă  certaines Ă©quations mathĂ©matiques.

Les spĂ©cialistes les plus aguerris dans la pratique de ce geste ont Ă©tĂ© jusqu’Ă  prĂ©sent Roberto Carlos, David Beckham et Geremy Njitap. Ces trois joueurs aujourd’hui retraitĂ©s ont tirĂ© quelques coups francs magistraux dans leur carrière de footballeur. Ces tirs semblent dĂ©fier les lois de la physique. Peut-ĂŞtre que le plus stupĂ©fiant fut celui du brĂ©silien Roberto Carlos contre la France en 1997 lors d’un tournoi de prĂ©paration du mondial 98.C’Ă©tait un coup francs de 30 mètres. La plupart des footballeurs auraient fait une passe au lieu de tirer. Pas Roberto Carlos. Il posa le ballon au sol et pris un Ă©lan de quelques pas.

Le gardien français Fabien Barthez aligna son mur dĂ©fensif sans vraiment croire que le ballon allait viser sa cage. D’ailleurs quand Carlos frappa le ballon, il sembla se diriger bien loin de sa cible. Les spectateurs d’un cĂ´tĂ© du but baissèrent la tĂŞte s’attendant Ă  voir le ballon atterrir dans la foule. Mais soudain au dernier moment le ballon vira Ă  gauche et pĂ©nĂ©tra dans le but. Barthez n’en croyait pas Ă  ses yeux.

Le tir de Carlos semble dĂ©fier les lois de la physique or il illustre bien la science. L’effet donnĂ© Ă  un ballon de foot peut produire une trajectoire folle. Si vous frappez franchement sans donner aucun effet, le ballon se dĂ©place comme sur une feuille de papier Ă  deux dimensions en traçant une parabole. Mais si vous y mettez de l’effet, les mathĂ©matiques de son dĂ©placement deviennent tridimensionnelles. Au dĂ©placement vers le haut et le bas s’ajoute l’inflexion vers la gauche ou la droite. Mais qu’est-ce qui oriente le ballon vers la gauche ou vers la droite pendant sa course ? C’est l’effet Magnus du nom du mathĂ©maticien Heinrich Magnus qui en 1852 fut le premier Ă  expliquer l’effet de rotation d’un ballon. Le phĂ©nomène est semblable Ă  ce qui crĂ©e la poussĂ©e sur l’aile d’un avion. L’Ă©coulement de l’air est plus fort au-dessous des ailes qu’au-dessus. Ce qui va crĂ©er une force ascendante qu’on appelle portance.

L’Ă©coulement d’air qui pousse un ballon de football peut ĂŞtre chaotique ou ordinaire. L’Ă©coulement chaotique, Ă©galement appelĂ© turbulent se produit quand le ballon se dĂ©place très vite. L’Ă©coulement ordinaire ou laminaire a lieu Ă  des vitesses moindres. Le point de basculement de l’un vers l’autre dĂ©pend du type de ballon.
Quel effet le changement d’Ă©coulement turbulent en Ă©coulement laminaire a-t-il sur la frappe d’un coup franc ? Il s’avère que la turbulence chaotique exerce beaucoup moins de trainĂ©e sur le ballon. Et donc quand le ballon va vite, la rotation n’influence pas beaucoup sa direction et la force de la rotation est repartie sur une plus grande distance de trajectoire. Quand le ballon ralentit et franchit le point de transition, la turbulence cède le pas Ă  l’Ă©coulement laminaire, lequel exerce une poussĂ©e bien plus forte, comme quelqu’un Ă©crasant brutalement la pĂ©dale d’un frein. A cet instant de la transition, la rĂ©sistance de l’air augmente de 150%.

Il fallait Ă  Roberto Carlos un coup franc suffisamment loin du but afin de pouvoir frapper assez fort pour obtenir la turbulence chaotique et laisser au ballon le temps de ralentir et de virer avant de sortir du champ. Quand le ballon est frappĂ© Ă  environ 110 Km /H l’Ă©coulement d’air qui l’entoure est chaotique, mais Ă  environ mi-distance, quand il ralentit la turbulence est modifiĂ©e.

Ces principes mathĂ©matiques ne s’appliquent pas seulement au football. Le chaos affecte aussi nos voyages particulièrement aĂ©riens. Pour la plupart d’entre nous le mot « turbulence » Ă©voque une invitation Ă  attacher nos ceintures et les dĂ©sagrĂ©ments d’ĂŞtre secouĂ©s par des courants d’air chaotiques. Les avions sont bien plus rapides qu’un ballon de football et l’Ă©coulement chaotique ou turbulent sur leurs ailes augmente la rĂ©sistance de l’air au dĂ©placement d’un avion, ce qui engendre une consommation accrut de carburant donc un surcoĂ»t.

D’après une Ă©tude une diminution de 10% de la trainĂ©e turbulente pourrait augmenter de 40% la marge bĂ©nĂ©ficiaire d’une compagnie aĂ©rienne. Les ingĂ©nieurs en aĂ©ronautique recherche sans cesse des moyens d’amĂ©liorer la texture de la surface des ailes afin de rendre l’Ă©coulement d’air moins chaotique. Une proposition consiste Ă  introduire une rangĂ©e de rainures parallèles le long de l’aile. Une autre serait de couvrir la surface des ailes de minuscules structures en forme de dents ; appelĂ©es denticules. D’ailleurs la peau d’un requin est couverte de denticules naturels. Ce qui montre que la nature a dĂ©couvert bien avant les ingĂ©nieurs comment vaincre la rĂ©sistance des fluides.

Bien qu’elle ait fait l’objet de très nombreuses Ă©tudes la turbulence derrière un ballon de football ou sous l’aile d’un avion demeure l’un des grands mystères des mathĂ©matiques. Il y a quand mĂŞme une bonne nouvelle c’est que les mathĂ©maticiens savent dĂ©sormais Ă©crire les Ă©quations qui dĂ©crivent le comportement de l’air ou des fluides. La mauvaise c’est que personne ne sait comment les rĂ©soudre. Ces Ă©quations ne sont pas seulement importantes pour un footballeur, d’autres professions en ont besoin : les mĂ©tĂ©orologues pour prĂ©voir le flux de l’air dans l’atmosphère, les mĂ©decins pour comprendre la circulation du sang dans l’organisme, les astrophysiciens pour dĂ©terminer le dĂ©placement des Ă©toiles dans la galaxie.

L’Usage des nombres premiers dans le football : Pourquoi David Beckham portait au Real de Madrid le numĂ©ro 23
Lorsque David Beckham a rejoint le Real de Madrid en 2003, il a choisi de jouer avec le numĂ©ro 23.VoilĂ  un bien Ă©trange choix, se disaient les supporters car jusqu’alors que ce soit dans l’Ă©quipe d’Angleterre, que ce soit dans le Manchester United ,il jouait avec le numĂ©ro 7 ; Le problème c’est que dans l’Ă©quipe madrilène le numĂ©ro 7 Ă©tait dĂ©jĂ  pris par Raul. Et Raul n’entendait laisser ce numĂ©ro Ă  quelqu’un d’autre.

Diverses thĂ©ories furent avancĂ©es pour expliquer le choix de Beckham. La plus rĂ©pandue Ă©tait celle liĂ©e Ă  Michael Jordan. Le rĂ©al souhaitait conquĂ©rir le marchĂ© amĂ©ricain afin d’exploiter l’immense potentiel commercial que reprĂ©senterait la vente du maillot de Beckham. Mais aux USA le football n’est pas un jeu très populaire. Ce que les amĂ©ricains aiment c’est le basket et le base-ball.
Selon cette thĂ©orie, le Real Madrid mena une enquĂŞte et dĂ©termina que Michael Jordan marqueur de panier prolifique des Chicago Bulls Ă©tait de toute Ă©vidence le joueur de Basket le plus cĂ©lèbre au monde. Durant toute sa carrière Jordan a portĂ© le maillot numĂ©ro 23. Il suffisait donc pour le Real de mettre un numĂ©ro 23 sur le dos d’un maillot de foot et d’espĂ©rer que l’association avec Jordan opère sa magie afin de pĂ©nĂ©trer le marchĂ© amĂ©ricain.

Et pourtant la vĂ©ritĂ© de toute cette histoire est ailleurs bien loin de l’ingĂ©nierie du marketing. Elle rĂ©sidait dans une solution mathĂ©matique. 23 est un nombre premier, c’est-Ă -dire un nombre qui n’est divisible que par lui-mĂŞme et par 1.

17 et 23 sont des nombres premiers car il est impossible de les Ă©crire en multipliant deux nombres plus petits, alors que 15 n’est pas un nombre premier car on peut Ă©crire 15=5×3. Les nombres premiers sont les nombres les plus importants des mathĂ©matiques. En effet tous les nombres entiers sont construits en multipliant les nombres premiers entres eux.

Voici quelques exemples de nombres premiers : 1, 2 ,3,5,7,11,13,17,19..Tous ces nombres ne sont divisibles que par eux-mĂŞmes et par 1.Les nombres premiers demeurent une des plus grandes Ă©nigmes rencontrĂ©es au cours de la quĂŞte de la connaissance. Plusieurs millĂ©naires avant JĂ©sus les pharaons d’Egypte avaient tentĂ© d’identifier et de rĂ©flĂ©chir sur les nombres premiers. Les nombres premiers ont mĂŞme Ă©tĂ© utilisĂ©s par la Nasa pour tenter d’Ă©tablir un contact avec une intelligence extraterrestre.


Au moment oĂą David Beckham arrivait au Real de Madrid tous les joueurs phares du club portaient des nombres premiers. Carlos le nombre 3, Zidane le 5, Raul le 7, Ronaldo le 11.Il Ă©tait donc inĂ©vitable que David Beckham se voit attribuer lui aussi un nombre premier. On lui donna le 23. Mais qui a dĂ©cidĂ© qu’il devait en ĂŞtre ainsi ? Il y avait dans le staff technique du Real de Madrid, un mathĂ©maticien.

Mais pourquoi les nombres premiers ? Qu’est-ce que cela apporte Ă  une Ă©quipe ? On pĂ©nètre lĂ  sur un terrain très dĂ©licat oĂą les mathĂ©matiques entrent en communication avec la mĂ©taphysique.
Qu’est-ce qu’un nombre ? A quoi sert-il ? Le professeur de mĂ©decine Titus Edzoa a tentĂ© de rĂ©pondre Ă  cette question dans son livre rĂ©digĂ© en Taule, MĂ©ditations de prison.

Il a d’abord repris la dĂ©finition du Larousse :<< Le nombre est une notion fondamentale des mathĂ©matiques qui permet de dĂ©compter, de classer les objets ou de mesurer les grandeurs.mais ne peut faire l'objet d'une dĂ©finition stricte>> et il a poursuivi en donnant une autre dĂ©finition :<>.
Les nombres ont donc une signification symbolique. On parlera du symbolisme des nombres. Par symbolisme des nombres, on entend la capacitĂ© qu’a un nombre de dĂ©signer autre chose que lui-mĂŞme. Le symbolisme des nombres concerne donc leur capacitĂ© Ă  reprĂ©senter et Ă  dĂ©signer ou signifier quelque chose, mais peut-ĂŞtre aussi Ă  agir, Ă  influencer, Ă  activer les esprits ou les choses.

Pourquoi donne-t-on aux nombres une signification mystérieuse ? Parce que le nombre est un code secret pour désigner certaines lois de la nature.

On remarquera par exemple que Les rythmes et les espèces de la nature se caractĂ©risent par des nombres et des chaĂ®nes mathĂ©matiques plus ou moins complexes. Par exemple les pĂ©tales de la plupart des fleurs sont au nombre 2, 3, 5 ,8 ,13, 21, 34, 55. Cette configuration correspond Ă  une mystĂ©rieuse suite mathĂ©matique dĂ©couverte au moyen âge par le mathĂ©maticien italien fibonachi. Dans cette suite chaque nombre est la somme des deux prĂ©cĂ©dents. Qu’il s’agisse de structures aussi complexes comme l’Ă©cume, la dune, les nuages la nature offre dans tous ces phĂ©nomènes une Ă©tonnante rĂ©gularitĂ© mathĂ©matique que nous pouvons exprimer par les nombres.

Revenons au football. Beckham Ă©tait très attachĂ© au nombre 7 qu’il a portĂ© en Ă©quipe nationale et au Manchester United. Convaincu de son pouvoir magnifique il s’est fait tatouer ce nombre sur l’avant-bras. Il s’est engagĂ© pour un fond de l’Unicef qui s’appelait tout simplement <<7>>. A son arrivĂ© au Real Madrid le staff technique lui a imposĂ© le nombre 23.

L’intĂ©rĂŞt portĂ© Ă  ces deux nombres 7 et 23 n’est pas gratuit. Il recouvre des enjeux symboliques.

Commençons par le nombre 7.Que signifie-t-il ? Dès les origines de la civilisation le nombre 7 s’est distinguĂ© très vite des autres nombres. L’Egypte pharaonique fut Ă  ce sujet la première grande civilisation qui a accordĂ© Ă  ce nombre une importance majeure. Les Ă©gyptiens de l’antiquitĂ© ne se servaient pas uniquement des nombres pour calculer. Ils leur assignent des caractĂ©ristiques qui confèrent Ă  certains nombres un sens profond qui n’Ă©mane pas uniquement de leur valeur numĂ©rale. Quelle puissance les Ă©gyptiens voient-ils derrière le 7 ? Sur quoi se fonde cette croyance qu’il peut influer sur leur vie ?

Tout vient de l’observation du firmament. Les principaux objets cĂ©lestes qui dans l’antiquitĂ© permettaient de se repĂ©rer dans le temps et dans l’espace manifestent aux Ă©gyptiens la prĂ©dominance du nombre 7.Dans l’ancien orient on dĂ©nombre 7 planètes, le cycle lunaire lui-mĂŞme se dĂ©compose en 4 pĂ©riodes d’environ 7 jours. La constellation de la grande ourse compte 7 Ă©toiles.

Le rite funĂ©raire de la momification est liĂ© au nombre 7. Dans l’Egypte pharaonique, le 7 est un nombre protecteur puissant dans le passage Ă  l’au-delĂ . Il rend possible la rencontre avec les dieux car en lui s’unissent les propriĂ©tĂ©s du 3 et du 4, du divin et du terrestre. D’après les conceptions des civilisations anciennes les propriĂ©tĂ©s des nombres apparaissent dans les phĂ©nomènes naturels mais trouvent aussi leur origine dans le processus de crĂ©ation qui les fait naĂ®tre car les nombres naissent de la division. De nos jours le nombre 1 est un petit nombre. Dans les civilisations antiques il incarnait le tout, l’universalitĂ©, l’unitĂ© .De la rupture de l’unitĂ© naissent tous les autres nombres. De cette première division nait le 2.

Le 2 symbolise la dissolution de l’unitĂ©, la dualitĂ©. Le 3 dĂ©passe la dualitĂ©, il apporte la nouveautĂ©. Toutes bonnes choses vont par 3.Il est aussi le symbole d’un ĂŞtre supĂ©rieur, la trinitĂ©. Le 4 est associĂ© Ă  ce qui est terrestre, Ă  la structure du monde au 4 coins cardinaux.

Le nombre 7 est le symbole de la transcendance. C’est le nombre le plus puissant, le plus proche des dieux. Les hommes recherchent sa protection. C’est un nombre porte bonheur. Il est le plus fort. C’est la rĂ©union des forces spirituelles et terrestres parce qu’il rĂ©unit le 3 et le 4.

Le 7, le 3 et le 4 font jouer un rĂ´le dĂ©terminant dans la construction des pyramides. Le 7 a Ă©tĂ© une obsession bien en dehors de l’Egypte pharaonique. Le 7 est avec le 3 les nombres les plus importants de la bible. Au dĂ©part<< le notre père>> avait 5 demandes. Mathieu en a ajoutĂ© deux pour des raisons qui tiennent Ă  la symbolique des nombres. On s’est retrouvĂ© avec 7 demandes.
ArrivĂ© au Real Madrid David Beckham a cessĂ© de porter son nombre fĂ©tiche le 7.Il s’est vu imposer le 23 ;

Pourquoi a-t-on donnĂ© Ă  David Beckham le numĂ©ro 23 ? C’est un nombre premier assez curieux. L’axe de la Terre est inclinĂ© par rapport au plan orbital de 23.5 degrĂ©s. le rythme biologique d’un homme est de 23 jours. Il y a 23 chromosomes de chaque parent dans notre ADN. Saint François d’assise reçu ses premiers stigmates Ă  23 ans. Pour les musulmans le coran fut rĂ©vĂ©lĂ© Ă  Mahomet en 23 ans.

On nous demandera de rester cartĂ©siens. Est-ce qu’on ne tombe pas dans la superstition lorsqu’on attribue aux nombres premiers des pouvoirs surnaturels au point de penser qu’en faisant porter aux joueurs des nombres premiers on peut amĂ©liorer la performance sportive ?

Ce qui s’impose Ă  l’observation c’est que les nombres premiers ont un comportement qui frise l’irrationnel. La nature est inondĂ©e de mystères de l’avis des scientifiques eux-mĂŞmes. Et ces mystères entretiennent un rapport Ă©trange avec les nombres premiers. C’est ce que rĂ©vèle par exemple l’affection des cigales pour les nombres premiers. Dans les forĂŞts de l’AmĂ©rique du Nord vit une espèce de cigales dont le cycle de vie est très Ă©trange. Pendant 17 ans (nombre premier) ces cigales restent enfouies dans la terre Ă  ne rien faire, puis au mois de Mai de la 17e annĂ©e elles Ă©mergent en masse et envahissent la forĂŞt. Le fait que ces cigales soient capables de calculer un laps de temps de 17 annĂ©es est un exploit d’ingĂ©nierie biologique extraordinaire. La plupart des animaux et des plantes obĂ©issent Ă  un cycle rĂ©gulĂ© annuellement par les changements de tempĂ©rature et de saison. Or rien de tangible n’indique aux cigales que la terre a fait 17 fois le tour du soleil.

Pour une personne qui s’intĂ©resse aux mathĂ©matiques ce qui est frappant dans ce phĂ©nomène c’est le nombre d’annĂ©es : 17 un nombre premier. Est-ce une coĂŻncidence si ces cigales passent un nombre premier d’annĂ©e enfouis sous terre ? Il semblerait que non. D’autres espèces de cigales passent 13 enfouis sous le sol, d’autres 7 ans. Toujours des nombres premiers. De manière Ă©tonnante lorsqu’il advient qu’une cigale ayant un cycle de 17 ans sort de terre plus tĂ´t, ce n’est pas avec une avance de 1 an, mais de 4ans. Elle opte dans ce cas pour un cycle de 13 ans (un nombre premier).


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